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幾何---三角形一題

發問:

http://www.xanga.com/highlowb 圖1-16 已知:RtΔABC中,∠A = 90°,AB = AC,AD為高,BE為角平分線,EG⊥BC於G,ΔCEG的周長為32 求:AD長 THX

最佳解答:

由於BE平分∠ABC,所以 ∠EBG=∠EBA 另外,∠EAB=90°和∠EGB=90° ΔEAB=ΔEGB,得出EA=EG 由於∠BAC=90°,AB=AC,所以 ∠ACB=45°,得出EG=CG及AD=CD 設CG=x,得EC=(√2)x 推出 2x+(√2)x=32 ==>x=32/(2+√2)--------(1) AC=EA+EC=x+(√2)x 由於AD=AC/√2 得AD=(x+(√2)x)/√2----(2) 代(1)式入(2)式 AD=32(1+√2)/[(2+√2)√2] =32(1+√2)/(2√2+2) =32(1+√2)(2√2-2)/[(2√2+2)(2√2-2)] =32(1+√2)(2√2-2)/4 =32×2/4 =16 。

其他解答:

雖然我覺得呢題可以用番d純幾何既方法計,但唸唔到唯有用計數機計啦~ AD//EG ( 同位角相等) 考慮ΔCEG及ΔCAD, ∠CEG = ∠CAD (同位角, EG//AD) ∠CGE = ∠CDA (已給) 所以ΔCEG~ΔCAD (A.A.) ∠BAD = ∠CAD = 90°/2 = 45° (等腰Δ的性質) ∠CEG = 45° (已證) ∠CEG + ∠CGE + ∠ECG = 180° (Δ內角和) ∠ECG = 45° 所以 EG = GC (等角對邊相等) 設 x 為GC。 x2 + x2 = EC2 (畢式定理) EC = √2.x 所以 x + x + √2.x = 32 x = 9.3726 考慮ΔABE 及 ΔGBE, ∠ABE = ∠GBE (已給) BE = BE (公共邊) ∠BAE = ∠BGE (直角) 所以 ΔABE≡ΔGBE (A.A.S.) AE = EG (≡Δ對應邊) 但CG = EG (已證) 所以AE = GC = 9.3726 EC = √2.x = 13.2549 EC:EA = CG:GD (截線定理) 13.2549:9.3726 = 9.3726:GC GC = 6.6274 DC = 6.6274 + 9.3726 = 16 AD = DC (等角對邊相等) 所以 AD = 16 2007-11-14 19:53:36 補充: sorry,係畢氏定理先岩,我打錯- -
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