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A.Maths超難題

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1.) 設tan a和tan b是方程x^2+px+q=0的根。試以p﹑q表示: cos^2(a+b) 2.) 設tan a和tan b是方程x^2+4x-2=0的根，且 0度<180度。 a) 證明a是銳角而b是鈍角。 b) 試求tan(a+b)。 c) 試求以cot(a+b)和sin(a+b)為根的一元二次方程。更新: 係係，第2題冇打到，有 0o

最佳解答:

(1) 由題意，可知 tan a + tan b = -p (tan a)(tan b) = q 因此， tan (a+b) = (tan a + tan b)/(1 - tan a tan b) = -p/(1 - q) 另外， cos2 (a+b) = 1/sec2 (a+b)【因為 sec x = 1/cos x】 = 1/[1 + tan2 (a+b)]【因為 sec2 x = 1 + tan2 x】 = 1/{1 + [-p/(1 - q)]2} = 1/[1 + p2/(1 - q)2] = (1 - q)2/[(1 - q)2 + p2)] (2) 你的題目應該寫少了一句，大約是「0° < a < b < 180°」。 (a) 由二次方程公式， x = [-4 ± √(16 + 4)]/2 = -2 ± √5 由於 -2 + √5 > 0 及 -2 - √5 < 0 因此 tan a > 0 及 tan b < 0，即 a 是銳角而 b 是鈍角。 (b) 由根和及積的公式， tan a + tan b = -4 (tan a)(tan b) = -2 tan (a+b) = (tan a + tan b)/(1 - tan a tan b) = -4 / (1 - (-2)) = -4/3 (c) 由於 tan(a+b) = -4/3 < 0, a + b 不在第三象限，由於 b 是鈍角，因此 a + b 在第二象限。 cot (a+b) = 1/tan (a+b) = -3/4 sin (a+b) = 1/csc (a+b) = 1/√[1 + cot2 (a+b)] = 1/√(1 + 9/16) = 1/(5/4) = 4/5 【這裡不取負值因為 a+b 於第二象限，所以 sin (a+b) > 0】所以 cot (a+b) + sin (a+b) = -3/4 + 4/5 = 1/20 cot (a+b) sin (a+b) = (-3/4)(4/5) = -3/5 因此，以 cot (a+b), sin (a+b) 為根的二次方程為 x2 - 1/20 * x + (-3/5) = 0 20x2 - x - 12 = 0 希望幫倒你！^^

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